Categories: Форум

. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология

ISSN 2070-4909 (print)

ISSN 2070-4933 (online)

Фавмакоэконоша

. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология

FARMAKOEKONOMIKA

Modern Pharmacoeconomic and Pharmacoepidemiology

2020 Vol. 13 No1 www.pharmacoeconomics.ru

■ Диагностика вируса, вызывающего COVID-19, методом ПЦР в реальном времени

■ Фармакоэкономическая эффективность химиотерапии злокачественных новообразований бронхов и легкого

■ Лекарственное обеспечение и оценка технологий здравоохранения во Франции

Данная КыВер нет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования i коммерческих целях. ИнфорММкю о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

2020

Оригинальные статьи

Фщииодди

ISSN 2070-4909 (print) DOI: 10.17749/2070-4909.2020.13.1.43-51 ISSN 2070-4933 (online)

Коронавирусная инфекция в Москве: прогнозы и сценарии

Тамм М.В.12

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»

(Ленинские горы, д. 1, Москва 119991, Россия)

2 Департамент прикладной математики МИЭМНИУ ВШЭ (Таллинская ул., д. 34, Москва 123458, Россия)

Для контактов: Тамм Михаил Владимирович, e-mail: thumm.m@gmail.com

РЕЗЮМЕ

Цель — математическое моделирование развития эпидемии COVID-19 в Москве с анализом ряда сценариев подавления эпидемии и их возможных последствий.

Материалы и методы. Для моделирования эпидемии использована расширенная модель SEIR, предложенная в последние недели в группе Р. Нейера и реализованная в виде общедоступной компьютерной программы. При выборе параметров моделирования мы ориентировались на литературные данные об эпидемических свойствах нового коронавируса SARS-CoV-2 и открытые данные о за­регистрированных случаях вызываемого им заболевания COVID-19 в Москве 8-27 марта 2020 г.

Результаты. Рассмотрены пять сценариев развития эпидемии COVID-19, отличающихся разным уровнем мер по ее подавлению: нулевой сценарий соответствует отсутствию защитных мер, сценарий А — мягким шагам подавления эпидемии (закрытие школ и университетов, рекомендации пожилым людям не выходить из дома), сценарий Б — среднему уровню подавления (закрытие всех публичных мест, рекомендация не выходить из дома), сценарии В и Г — полному локдауну, вводимому в сценарии В с начала мая, в сценарии Г — с начала апреля 2020 г. Показано, что в нулевом варианте число умерших от нового коронавируса в Москве превысит 100 тысяч человек, а число критически больных на пике эпидемии более чем на порядок превысит пропускную способность системы здравоохранения. Показано, что сценарии А и Б не позволяют радикально снизить число умерших, а число критически больных на пике эпидемии будет по-прежнему намного превышать возможности системы здравоохранения. Кроме того, сценарий Б предпола­гает растягивание эпидемии более чем на год. Сценарии В и Г позволяют подавить эпидемию и существенно (в 30 и 400 раз соответ­ственно) снизить число умерших. При этом в результате этих обоих сценариев в популяции не вырабатывается групповой иммунитет, и популяция остается уязвимой для повторных вспышек эпидемии.

Заключение. Сценарии, направленные на медленную выработку группового иммунитета в условиях снижения вреда от эпидемии, не приводят к должным результатам: смертность остается неприемлемо высокой, система здравоохранения существенно перегружен­ной, а ограничительные меры — недопустимо продолжительными. Меры типа жесткого локдауна позволяют остановить нынешнюю вспышку эпидемии, причем чем раньше они вводятся, тем эффективнее работают. Для предотвращения последующих вспышек необходима система легкодоступного, быстрого и качественного тестирования в сочетании с точечными мерами изоляции заболев­ших и их контактов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

SARS-CoV-2, новая коронавирусная инфекция, эпидемия, COVID-19, модель SEIR, подавление эпидемии, групповой иммунитет.

Статья поступила: 05.04.2020 г.; принята к печати: 08.04.2020 г.

Представление в прессе

Первая версия исследования опубликована на интернет-портале meduza.io 30.03.2020. Рецензированная статья публикуется для расширения доступа аудитории к научным данным.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии необходимости раскрытия конфликта интересов в отношении данной публикации.

Для цитирования

Тамм М.В. Коронавирусная инфекция в Москве: прогнозы и сценарии. ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; 13 (1): 43-51. DOI: 10.17749/2070-4909.2020.13.1.43-51.

COVID-19 in Moscow: prognoses and scenarios

Tamm M.V.12

1 Moscow State University (1 Leninskie gory, Moscow 119991, Russia)

2 HSE Tikhonov Moscow Institute of Electronics and Mathematics (MIEM NRU HSE) (Tallinskaya Str., 34, Moscow 123458, Russia)

Corresponding author: Mikhail V. Tamm, e-mail: thumm.m@gmail.com

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; Том 13, №1

www.pharmacoeconomics.ru

43

Original articles

Farmakoekonomika

SUMMARY

Alm: to present a mathematical model of the development of COVID-19 in Moscow along with the analysis of some scenarios of epidemic control and possible epidemic consequences.

Materials and Methods. The modeling of the epidemics was based on the emended SEIR moddl proposed lately i nt hegrouuofProf. R.Neherand realized as a freely available software program. The authors based the choice of he р^п^п^^Г^г^ tO moddllnnospoUlisSeddetaosthhe eiddmiolooical properties of the novel coronavirus SARS-CoV-2 andopenaccessdataonthetodineeredpanehpf POVID—9I п Moseaw fff8-27Matoa 2020.

Results. Five potential scenarios of the development of COVID-19 epidemics are studied. The scenarios are differed by the levels of the control measures: Null Scenario corresponded to the lack of protective measures, Scenario A — mild measures of the epidemic control (closing of schools and universities, recommendations for senior citizens to stay inside), Scenario B — medium level of control (closing of all public places, recommendation for the citizens to stay inside), Scenarios C and D — complete lockdown (from the beginning of May 2020 within Scenario C and from the beginning of April 2020 within Scenario D). It was shown that within the Null Scenario, the lethality from the novel coronavirus in Moscow will exceed 100 thousand people, and the number of critically ill patients on the peak of the epidemics will exceed the capacities of the system of healthcare. Scenarios A and B did not provide for a radical decrease in the fatality rate, and the number of critical­ly ill patients at the peak of epidemics will still exceed the capacities of the system of healthcare. Besides, within Scenario B, the epidemics will last for more than a year. Scenarios C and D will allow for the control of epidemics and a significant decrease in the rate of lethality (by 30 and 400 times, respectively). At the same time, these two scenarios prevent the population from developing herd immunity, which would result in the population susceptibility to repeated epidemics outbreaks.

Conclusion. The scenarios intended for the slow development of herd immunity in the conditions of epidemic control would not bring suffi­cient results: the lethality would remain unacceptably high, the capacities of the system of healthcare would be overloaded, and the time of limiting measures would be unacceptably long. Such measures as complete lockdown would stop the present epidemics. The earlier they are introduced, the more efficient will be the results. To prevent further repeated outbreaks of the epidemics, it is necessary to establish a system of available, quick, and efficient testing in combination with point isolation of the infected patients and their contacts.

KEY WORDS

SARS-CoV-2, novel coronavirus infection, epidemics, COVID-19, SEIR model, epidemic control, herd immunity.

Received: 05.04.2020; accepted: 08.04.2020.

Presentation in press

The first version of the study was published 30.03.2020 on the mdeuzn.io web portal. The oddr-rdvidwde article is published to increase audience nccdee to scientific data.

Conflict of interests

The author declares he have nothing to disclose regarding conflict of interests with respect to this manuscript.

For citation

Tamm M.V. COVID-19 in Moscow: orogdoede and scenarios. FARMAKOEKONOMIKA. Sovremennaya farmakoekonomika i faarwkoepKiemKjlogiyai/FAR­MAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomics and Pharmacoepidemiology. 2020; 13 0): 4^-^1 tin Russ.). DOI: 19.19744/2200-4490.2202.19.1.44-51.

Основные моменты

Что уже известно об этой теме?

► Эпидемия COVID-19 стремительно развивается во всем мире, необ­ходимы модели, описывающие различные сценарии ее развития

► Модель SIR («Susceptible» — уязвимый, «Infected» — зараженный, «Recovered» — выздоровевший) является базовой моделью рас­пространения эпидемий, модель SEIR дополнена «Exposed» — за­раженный, но находящийся в стадии инкубационного периода

► Москва поражена эпидемией в значительно большей степени, чем остальные регионы России. 15-18 марта были введены пер­вые ограничения (закрытие учебных заведений, рекомендации пожилым оставаться дома)

Что нового дает статья?

► Впервые оценены возможные сценарии развития эпидемии COVID-19 в России на примере Москвы: рассмотрены пять сцена­риев с различным уровнем сдерживания — от «0» — отсутствие мер, до «Г» — превентивный локдаун

► Сценарии с локдауном более предпочтительны, так как позволяют на порядки снизить смертность и нагрузку на систему здравоохранения

► После снятия локдауна очень велик риск второй волны эпидемии, для подавления которой, возможно, понадобится новый локдаун

Как это может повлиятьнаклиническуюпрактикувообозимом буудщем?

► Исследование будет полезно при принятии управленческих решений и планировании дальнейших мер по сдерживанию эпидемии COVID-19

► Качественные результаты и основные выводы имеют универсаль­ный характер и могут быть распространены на другие регионы Российской Федерации

Highlights

What is already known about this subject?

► A COVID-19 epidemic ie registered worldwide. It ie ddcdeeary to pro- 0oed models that would describe different scenarios of its develop­ment

► Model SIR (“Susceptible”, “Infected”, “Recovered”) ie a basic model of an epidemic eordae. It wae extended with “Exooede” — infected but in the incubation period

► The epidemic situation in Moecow ie much worse than in other Rus­sian Regions. On March H-Wh, first preventive measures were taken (educational institutions, rdcommddeatiode for senior citizens to stay inside)

What are the new findings?

► The authors evaluated five possible scenarios of the development of COVID-19 epidemics in Rueeia using Moecow ae a model example: from “0” (lack of limiting measures) to “D” (preventive lockdown)

► Scenarios with lockdown are more preferable because they allow for a significant decrease in the lethality rate and load on the system of healthcare

► After the lockdown, there is a threat of the second wave of the epide­mics, which might require a new lockdown for its control

How might it impact on clinical practice in the foreseeable future?

► The study results will be useful in the management and planning of further COVID-19 epidemic control measures

► Qualitative results and main conclusions have universal character and can be used as references in other regions of the Russian Federation

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

44

www.pearmacddcdddmics.ru

FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pearmacddcdddmics and Pearmacddpiddmidldgy. 2020; Vol. 13 (1)

Оригинальные статьи

Фщииодди

ВВЕДЕНИЕ/INTRODUCTION

В условиях стремительно развивающейся эпидемии COVID-19 большое внимание привлекают математические модели, описыва­ющие возможное развитие событий: ситуация меняется стреми­тельно, и власти, и общество в целом нуждаются в каких-то ори­ентирах, на которых они могли бы основывать принимаемые решения. Настоящая работа призвана дать краткое введение в ма­тематическое моделирование эпидемий и познакомить читателей с результатами проведенного автором анализа возможных сцена­риев развития эпидемии в Москве. Важно отметить, что публикуе­мое исследование проводилось 25-28 марта 2020 г. [1], в период до принятия решения о введении обязательного карантина для всех жителей Москвы и ряда других регионов РФ.

Модель SIR

Базовой моделью для описания распространения эпидемий, если угодно «золотым стандартом» эпидемиологии, является так называемая «модель SIR», от английских слов «Susceptible (уяз­вимый)», «Infected (зараженный)», «Recovered (выздоровевший)». Эта модель предложена шотландскими эпидемиологами Керма- ком и МакКендриком в 1920-х гг. [2], она хорошо изучена, ее под­робное изложение можно найти во многих монографиях и учеб­ных пособиях [3-6]. В этой модели все население делится на группы (компартменты) в зависимости от своего отношения к болезни: уязвимые (S), зараженные (I) и выздоровевшие (R). С течением времени возможны переходы из S в I (заражение) и из I в R (выздоровление). В простейшей версии модели предпо­лагается, что количество выздоровлений в единицу времени про­порционально общему числу зараженных (каждый заразившийся имеет фиксированную вероятность выздороветь в единицу време­ни), а количество заражений пропорционально произведению числа зараженных и числа уязвимых. Это последнее предположе­ние основано на идее, что заражение происходит при «опасных» контактах, то есть контактах уязвимых и заразившихся. Если об­щее число контактов между людьми в популяции в единицу вре­мени постоянно и если популяция хорошо перемешана, то доля «опасных» контактов пропорционально произведению числа за­разившихся людей и числа уязвимых. В модели SIR есть два суще­ственных параметра: характерное время t — типичное время выз­доровления, и коэффициент воспроизводства R0 — отношение скоростей заражения и выздоровления (можно понимать этот па­раметр как среднее число людей, которых один зараженный успе­вает заразить за время, пока сам не выздоровеет). Главной осо­бенностью модели SIR является эпидемический переход: поведение эпидемии радикально отличается в зависимости от того, R0 больше или меньше единицы. При R0<1 эпидемия зату­хает, при R0>1 она распространяется и охватывает существенную часть населения (какую в точности — зависит от конкретного зна­чения R0, но речь про десятки процентов, например, при R0=2 об­щее число переболевших оказывается равно примерно 80%). В случае если часть населения вакцинирована от болезни, эпиде­мический переход смещается вверх по R0, так что при достаточно высокой доле вакцинированных распространение эпидемий пре­кращается. Это явление называется «групповой иммунитет» и ле­жит в основе кампаний массовой вакцинации населения.

Модель SEIR

Модель SIR дает базовое качественное понимание динамики рас­пространения инфекционных заболеваний, но для количественного моделирования этой динамики требуются различные уточнения, учитывающие особенности протекания конкретных болезней. В частности, важной особенностью многих болезней является нали­чие инкубационного периода, в течение которого человек уже явля­ется носителем болезни, но не демонстрирует симптомов и не явля­

ется заразным для окружающих. Эта особенность может быть учтена разделением группы зараженных (Infected) на две подгруп­пы — экспонированных (Exposed), то есть зараженных, но находя­щихся в стадии инкубационного периода, и заразных (Infectious), так что последовательность переходов между состояниями вместо S ^ I ^ R становится S ^ E ^ I ^ R. Соответствующая модель носит в литературе название SEIR [7]. Кроме того, если, помимо собственно динамики заражения, мы хотим, как это естественно в случае эпидемии COVID-19, оценить нагрузку на систему здраво­охранения и количество жертв болезни, имеет смысл вводить ряд дополнительных состояний пациентов, находящихся по времени после состояния «заразный», такие, например, как «тяжело боль­ной» (нуждается в госпитализации), «в критическом состоянии» (нуждается в искусственной вентиляции легких) и «умерший».

В последние недели появляется большое число работ, анализи­рующих динамику эпидемии как в планетарном масштабе, так и на масштабе отдельных стран и регионов [8-11]. Однако, на­сколько нам известно, до сих пор в рецензируемых журналах не появлялось исследований, пытающихся оценить возможные сценарии развития эпидемии в России или каких-то ее частях. На­стоящая работа, посвященная динамике эпидемии COVID-19 в Мо­скве, призвана заполнить этот пробел. Мы сконцентрируемся на исследовании московских данных по двум причинам. Во-пер­вых, на данный момент Москва поражена эпидемией в значитель­но большей степени, чем остальная Россия: до сих пор более двух третей зарегистрированных в России случаев COVID-19 приходят­ся на Москву. Во-вторых, Москва, как и любой большой город с хорошо перемешанным населением, идеально подходит для описания с помощью прямых обобщений модели SIR. При описа­нии распространения эпидемии в России необходимо учитывать ее пространственную неоднородность и ограниченность транс­портных и людских потоков между различными регионами, что делает моделирование существенно более сложной задачей.

Цель — провести математическое моделирование развития эпи­демии COVID-19 в Москве, исследовать ряд сценариев подавления эпидемии и их возможные последствия.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ / MATERIALS AND METHODS

Математическая модель

Моделирование проводилось в рамках расширенной модели SEIR с рядом дополнительных состояний, предложенной в группе Р. Нейера (университет Базеля, Швейцария) специально для опи­сания распространения нового коронавируса. Эта модель реали­зована в виде компьютерной программы для моделирования эпи­демии COVID-19, доступной в интернете [12]. С целью экономии места мы не приводим здесь полный набор уравнений модели [12], так как в разделе «About» соответствующего сайта можно найти полную информацию о содержании и параметрах модели (см. прямую гиперссылку в списке первоисточников).

Оценка параметров модели для Москвы

Для корректного моделирования эпидемии, помимо адекватной базовой модели, необходимо правильно подобрать ее количе­ственные параметры. Часть этих параметров связана с биологией вируса и является универсальной, что позволяет воспользоваться имеющимися данными по другим регионам. Другие параметры являются специфичными для конкретного города или региона и их нужно подбирать, ориентируясь на локальные данные. Ниже перечислены основные параметры модели, от более универсаль­ных к более локальным.

Инкубационный период и заразный период

Из литературных данных известно, что средняя длительность ин­кубационного периода для COVID-19 составляет около 5 дней (см.

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; Том 13, №1

www.pharmacoeconomics.ru

45

Original articles

Farmakoekonomika

обзор различных литературных данных в [13]). Типично большин­ство заражений происходит в короткое время после окончания ин­кубационного периода, это время также является параметром моде­ли. Оно установлено несколько хуже, но ориентировочно составляет около 3 дней [14-17]. Эти два характерных времени естественно считать присущими вирусу самому по себе, а следовательно — уни­версальными для всех регионов распространения эпидемии.

Регистрация заболевания, тяжесть его протекания и смерт­ность

Главной особенностью COVID-19 является то, что тяжесть про­текания болезни существенно зависит от возраста заболевших. Известно, что в большой доле случаев у молодых пациентов бо­лезнь протекает бессимптомно или очень легко. Нет сомнений, что это повсюду приводит к существенно заниженной регистрации заболевших. Сверх того, ситуация с регистрацией существенно различается в разных странах, так как зависит от локального на­личия тест-систем и протоколов доступа к тестированию. Точное число переболевших можно установить только проведением серо­логического анализа на антитела в большой популяционной вы­борке. На сегодня таких исследований нигде не проводилось, так что всякие предположения об общем числе переболевших явля­ются в лучшем случае основанными на допущениях.

Тем не менее любая количественная модель должна задаваться тем или иным предположением о связи истинного и наблюдаемо­го уровней заболеваемости. В модели Нейера эта связь определя­ется набором некоторых зависящих от возраста коэффициентов. Полный набор их конкретных значений приведен в разделе «Severity assumptions and age-specific isolation» сайта [12], здесь остановимся лишь на важнейших деталях. Предполагается, что от 50 (среди пациентов старше 80 лет) до 95 (среди детей и под­ростков) процентов заболевших болеют достаточно легко для того, чтобы заболевание не было протестировано и зарегистриро­вано. Представление о такой большой доле нерегистрируемых случаев кажется разумным, так как иначе не представляется воз­можным объяснить радикальное расхождение в летальности COVID-19 в странах с выборочным (Италия, Испания) и относи­тельно полным (Корея, Исландия) тестированием.

Оценка повозрастных коэффициентов смертности для боль­ных, болеющих в тяжелой форме, основана на опубликованных данных по статистике протекания болезни у примерно 70000 паци­ентов в Китае в декабре-феврале [18]. Для оценки коэффициен­тов смертности в конкретной стране или регионе используются данные о распределении населения по возрастам в данном регио­не. На данный момент на neherlab.org в автоматическом режиме доступны данные о распределении по возрастам для России, именно они использовались при предварительных автоматиче­ских расчетах, после чего поправки на различия между возраст­ными пирамидами России и Москвы вносились автором вручную.

Сезонность

Известно, что другие распространенные в человеческой популя­ции коронавирусы обладают некоторой сезонностью: соответству­ющие заболевания чаще встречаются зимой, чем летом [19]. Пред­лагается считать, что заразность коронавируса несколько (на 20%) увеличивается зимой (с максимумом 1 января) и на столько же снижается летом (с минимумом 1 июля). Для краткосрочных про­гнозов это несколько второстепенный фактор, так как при такой сезонности в конце марта — начале апреля заразность должна быть примерно равна среднегодовой. Однако для среднесрочных прогно­зов на несколько месяцев вперед этот фактор имеет значение.

Продолжительность тяжелой стадии заболевания

Среднее время, проводимое тяжело больными пациентами в больнице до выписки или ухудшения состояния, и среднее вре­

мя, проводимое критически больными пациентами в реанимации на искусственной вентиляции легких (ИВЛ): в базовой модели Нейера предлагается считать эти времена равными 4 и 14 дням соответственно. Маслов и Голденфельд [11], основываясь на дан­ных по штату Иллинойс, приводят другие цифры — 7 и 7 дней со­ответственно. Эти значения и были использованы в настоящем моделировании. Отметим, что данные Маслова и Голденфельда являются в некотором смысле более оптимистическими, так как фактором, лимитирующим способность системы здравоохране­ния справляться с эпидемией, является в данном случае число доступных аппаратов ИВЛ, так что более короткое время их заня­тия одним пациентом повышает способность системы здравоох­ранения справляться с кризисом.

Коэффициент воспроизводства R0

В отличие от чисто биологических параметров типа инкубацион­ного периода, коэффициент воспроизводства R0, как ожидается, может быть различным в различных странах и регионах. Так, есте­ственно предположить, что в городах с большей плотностью насе­ления и интенсивностью человеческих контактов эпидемия будет распространяться быстрее, а, например, в регионах с более низ­кой плотностью населения — медленнее.

Коэффициент R0 можно достаточно просто оценить следующим образом. Известно, что на ранних этапах эпидемии число заболев­ших растет экспоненциально, то есть последовательно удваивает­ся через фиксированное время t2. Из теории модели SEIR известна связь между R0 и временем удвоения [6]:

т т.

R = (1+ т ^ ln 2) (1+ т * ln 2)

где те = 5 дней, т = 3 дня — это средняя длина инкубационного и заразного периодов соответственно, а In 2 « 0,693 — натураль­ный логарифм двух.

Число зарегистрированных в Москве случаев коронавируса за последние 20 дней прекрасно ложится на экспоненциальную зависимость со средним временем удвоения 2,8-2,9 дня (рис. 1). Если принять, что доля выявленных случаев остается малой, не очень сильно меняется со временем, можно воспользоваться приведенной формулой и получить R0»3,8 для Москвы в середине

Рисунок 1. Рост числа зарегистрированных заболевших COVID-19 в Москве в марте. При экспоненциальном росте логарифм числа заболевших должен линейно увеличиваться со временем. На графике приведены официальные данные о числе заболевших москвичей (синие точки) и наилучшее линейное приближение (красная прямая). По наклону красной прямой можно определить R^ (см. объяснения в тексте).

Figure 1. An increase in the rate of registered cases of COVID-19 in Moscow in March. In the case of exponential growth the logarithm of the number of diseased should grow linearly with time. The diagram shows official data on the number of diseased Moscow residents (blue points) and the best linear approximation (red line). R^ can be calculated from the inclination of the red line (see explanation in the text).

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

46

www.pharmacoeconomics.ru

FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomics and Pharmacoepidemiology. 2020; Vol. 13 (1)

Оригинальные статьи

Фщииодди

марта. Для сравнения, значение R0 до введения карантина в Ухане (Китай) оценивалось разными авторами в интервале от 2,2 до 6,5, со средней оценкой в районе 3,3 (см. сравнение разных оценок в [20]). Последний отчет ICL [21], агрегируя данные из 11 стран Западной Европы, дает оценку R0=3,87±0,86. Таким образом, мо­сковская оценка представляется вполне разумной.

С учетом предполагаемой сезонности значение R0 для середины марта должно быть примерно на 5% выше среднегодового. Поэто­му далее в моделировании используется значение среднегодового R0, равное 3,6.

Уместно также отметить, что первая версия этого исследования [1] была закончена 28 марта 2020 г. С тех пор временной ряд забо­леваемости в Москве был продолжен, и значения параметра вос­производства R0, восстановленные по данным о заболеваемости за 26 марта — 4 апреля, составляют R0=3,3±0,1. Некоторое сниже­ние по сравнению с первоначальным уровнем, как представляет­ся, является результатом первых мер ограничения распростране­ния эпидемии (закрытие университетов, частичное закрытие школ, рекомендация пожилым людам не выходить из дома и т.д.), предпринятых в период 15-18 марта 2020 г. Действительно, запаз­дывание между предпринимаемыми мерами и регистрацией забо­леваемости составляет, как предполагается, 8-10 дней. Таким об­разом, такое снижение параметра воспроизводства подтверждает, что после первых мер сдерживания временная динамика парамет­ра воспроизводства вышла на траекторию, близкую к описанному в следующем разделе сценарию А.

Калибровка времени начала эпидемии

После того, как параметры 1-5 заданы, для полноты модели остается лишь определиться с вопросом, в какой точке эпидемии мы находимся в данный момент. Определение ответа на этот во­прос на основе зарегистрированного числа заболевших суще­ственно затруднено тем, что мы не знаем, какая доля заболевших протестирована и определена. С другой стороны, представляется, что умершие от коронавируса в целом регистрируются заметно лучше, чем заболевшие. В связи с этим при моделировании было принято решение ориентироваться в качестве реперной точки на дату, когда число умерших от коронавируса превысило один случай, для Москвы это 25 марта 2020 г. Таким образом, при мо­делировании свободный параметр «начальное число инфициро­ванных» выбирался таким образом, чтобы воспроизвести репер­

Таблица 1. Результаты пяти рассматриваемых сценариев.

ное значение «25 марта второй человек умер в Москве от коро­навируса, вызывающего COVID-19».

Население Москвы и его возрастное распределение

В моделировании использовались официальные данные Гос­комстата РФ о населении Москвы и его возрастном распределе­нии на 1 января 2020 г. [22,23].

Сдерживание эпидемии

Для моделирования механизмов сдерживания эпидемии в мо­дели имеется два механизма. Во-первых, можно задать завися­щий от времени «параметр сдерживания», описывающий, во сколько раз предпринимаемые меры сдерживания снижают базовый коэффициент воспроизводства R0. Во-вторых, в таблице «Severity assumptions and age-specific isolation» можно задать до­полнительный множитель, избирательно снижающий R0 для зара­жения конкретной возрастной группы.

РЕЗУЛЬТАТЫ / RESULTS

Ожидаемый ход эпидемии в отсутствие мер сдерживания («ну­левой сценарий»)

После того, как параметры моделирования определены так, как указано выше, начнем с моделирования естественного хода эпи­демии, который можно ожидать в отсутствие карантинных и огра­ничительных мер.

Результаты моделирования вместе с результатами различных сценариев сдерживания приведены в таблице 1. Ожидается, что в этом случае пик заражения придется на начало, а пик смертно­сти — на середину мая. На пике эпидемии более 48 тысяч пациентов будут нуждаться в интенсивной терапии (прежде всего — в аппара­тах ИВЛ). Общая смертность от COVID-19 за время эпидемии ожи­дается в районе 115-120 тысяч человек. Большинство умерших бу­дут составлять старики (почти половина — старше 80 лет), но ожидается и около 7000 смертей москвичей в возрасте до 60 лет.

Отметим, что в этих оценках никак не учитывается дополнитель­ный рост смертности, вызванный неизбежным при таком сцена­рии коллапсом системы здравоохранения и в частности — ката­строфической нехваткой аппаратов ИВЛ. В качестве ориентира отмечу, что в Москве на данный момент имеется в общей сложно­сти около 2600 коек реанимации. Естественно ожидать, что это

Table 1. The results of the studied scenarios.

Сценарий / Scenario 0 A / А Б / B В / C Г / D
Уровень карантина/ Level of quarantine measures Нет / No Низкий / Mild Средний / Medium Поздний локдаун** / Late lockdown** Ранний локдаун / Early lockdown
Общее число умерших / General lethality rate 11 7000 92 000 43 000 3 200 250
Пик эпидемии/ Peak of the epidemics 15 мая 2020 / May 15th, 2020 6 июня 2020 / June 6th, 2020 15 июля 2020 / July 15th, 2020 21 мая 2020 / May 21st, 2020 18 апреля 2020 / April 18th, 2020
Максимальное необходимое число коек реанимации / Maximum number of the required beds in the intensive care wards 48 500 32 000 7 500 900 80
Дата окончания эпидемии* / Date of termination of the epidemics** 26 июня 2020 / June 26th, 2020 22 июля 2020 / July 22nd, 2020 Май 2021 / May, 2021 6 июля 2020 / July 6th, 2020 1 мая 2020 / May 1st, 2020
Риск второй волны / Risk of the second wave of epidemics Нет / No Да / Yes Заметный / Measurable Большой/ Significant Большой / Significant

* Дата, когда число заразных больных опускается ниже 1000; ** замедление по среднему сценарию, локдаун по достижении смертности 30 человек/день в районе 5 мая.

* The data when the number of the infectious patients falls below 1000; ** slowdown according to the medium severity scenario, lockdown when the lethality rate reaches 30 patients per day (~May 5th).

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; Том 13, №1

www.pharmacoeconomics.ru

47

Original articles

Farmakoekonomika

количество будет наращиваться в ближайшие недели, но все же очевидно, что 48 тысяч пациентов — это величина, намного превы­шающая самые оптимистичные оценки возможностей системы здравоохранения.

Возможные подходы к сдерживанию эпидемии

По большому счету, все действия по снижению масштаба эпи­демии направлены на снижение коэффициента R:. Снижение R0 приводит качественно к двум результатам: (а) снижению общего числа заразившихся за время эпидемии и (б) увеличению ее дли­тельности и, соответственно, снижению числа болеющих в каж­дый заданный момент времени, что снижает единовременную на­грузку на систему здравоохранения. При этом важно иметь в виду, что при небольшом уменьшении главную роль играет эффект уд­линения эпидемии, в то время как снижение R: ниже единицы пол­ностью подавляет эпидемию, и, соответственно, общее число пе­реболевших становится мало по сравнению с размерами популяции. Отметим, что в случае подавления эпидемии не выра­батывается, таким образом, групповой иммунитет, и при новом повышении R: после снятия карантинных ограничений возникает риск второй волны эпидемии.

Отметим также, что поскольку эпидемия COVID-19 особенно опасна для пожилых людей, естественно рассматривать различ­ные тактики сдерживания, преимущественно направленные на снижение заражения пожилых людей.

Основными методами снижения R: являются (а) изоляция заболев­ших и (б) общее снижение числа социальных контактов в популяции. В случае COVID-19 изоляция заболевших — достаточно малоэффек­тивный способ борьбы с распространением эпидемии. Это связано с большим количеством легких и асимптоматических, но, тем не ме­нее, заразных, случаев, а также с тем, что болезнь заразна в основ­ном на ранней стадии, когда больные еще не диагностированы. В этом, кстати, радикальное отличие COVID-19 от SARS (атипичной пневмонии) — другой очень заразной болезни, вызываемой корона­вирусом. SARS в среднем протекает гораздо тяжелее, чем COVID-19, но больные становятся заразными тогда, когда уже чувствуют себя плохо. Это свойство позволило остановить эпидемию SARS путем выявления и изоляции заразных больных. Подобный подход к пода­влению эпидемии COVID-19, вроде бы, показывает довольно хоро­шие результаты в Корее, Тайване и Сингапуре — странах с опытом борьбы с эпидемией атипичной пневмонии, но он требует соответ­ствующей экспертизы, очень крупномасштабного тестирования и, по-видимому, работает только при достаточно малом количестве выявляемых случаев (порядка десятков на миллион населения).

Поэтому на данном этапе основные доступные большинству стран, включая и Россию, методы сдерживания — это методы, бо­лее или менее принудительно снижающие общее число социаль­ных контактов в популяции в целом.

Сценарии с различным уровнем сдерживания

Сценарий А

В качестве базового примера применения неселективных мето­дов сдерживания рассмотрим сценарий А, при котором все населе­ние снижает число социальных контактов в среднем на 20%, а по­жилые люди старше 65 лет — вдвое. Представляется, что уже принятые в последние недели в Москве меры — закрытие школ и университетов, запрет увеселительных мероприятий, рекоменда­ция пожилым людям не выходить на улицу и т.д. — должны обеспе­чить примерно такой уровень снижения социальной активности (как было сказано выше, судя по появившимся после окончания этого исследования данным по заболеваемости в Москве в период 26 марта — 4 апреля, реальное снижение коэффициента воспроиз­водства в результате упомянутых мер оказалось несколько ниже и составило около 15%). В качестве возможных сценариев более сильных ограничительных мер рассмотрим сценарии Б-Г:

Сценарий Б

Постепенное, но относительно мягкое увеличение ограничи­тельных мер (закрытие магазинов и ресторанов и прочих публич­ных пространств, стимулирование работы из дома, пропагандист­ская кампания) приводит к тому, что общее число социальных контактов у населения в целом снижается вдвое, а у старших воз­растных групп — в 4 раза.

Сценарий В

Увеличение ограничительных мер, описанное в Сценарии А, плюс при достижении смертности 30 человек/день — полный лок- даун по образцу того, что сейчас делается во многих странах За­падной Европы: запрет выходить из дома без уважительной при­чины, допуск в продуктовые магазины по одному, закрытие всех бизнесов, кроме необходимых для жизнеобеспечения и т.д. По оценкам автора, такая политика позволила снизить базовый коэффициент воспроизводства в Италии примерно в 5 раз, по данным [21], в среднем по 10 странам Европы аналогичные меры позволили снизить R: примерно в 4 раза. В китайской про­винции Хубей несколько более жесткие меры (в частности, прак­тически полный запрет на выход из дома, подкрепленный жестки­ми силовыми мерами) позволил снизить коэффициент воспроизводства в 12 раз, с 3,86 до 0,32 [24].

Сценарий Г

Превентивный локдаун, начиная с 6 апреля (даты окончания объявленных 25 марта 2020 года «каникул»).

Результаты моделирования сценариев А-Г

В таблице приведены результаты моделирования всех пяти сце­нариев. Видно, что среди рассматриваемых сценариев нет хоро­ших.

Меры сценария А (табл. 1, рис. 2), как ожидается, позволят не­сколько растянуть эпидемию (пик в этом случае придется на пер­вые числа июня), снизить число умерших на 20-25%, а пиковую нагрузку на систему здравоохранения — примерно на треть (с 48 до 32 тысяч нуждающихся в ИВЛ на пике эпидемии). Понятно, что такой вариант развития событий по-прежнему является совер­шенно неприемлемым, так что дальнейшее усиление ограничи­тельных мер представляется неизбежным.

Вариант Б (максимальные ограничения, но без полного локдау- на) позволяет снизить смертность более чем в два раза и умень-

March April May June July

Рисунок 2. Рост числа умерших и потребность в аппаратах ИВЛ в Москве в соответствии с нулевым сценарием (нет сдерживания эпидемии) и сценарием А (слабое сдерживание). Черные линии — количество умерших, красные — количество критических больных. Сплошные линии соответствуют нулевому сценарию, пунктирные — сценарию А.

Figure 2. An increase in the number of deaths and the requirements for ventilators in Moscow according to the null scenario (no epidemic control) and Scenario A (mild epidemic control). Black lines — number of lethal cases, red lines — number of critical patients. Full lines — null scenario, dashed lines — Scenario A.

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

48

www.pharmacoeconomics.ru

FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomics and Pharmacoepidemiology. 2020; Vol. 13 (1)

Оригинальные статьи

Фщииодди

March April May June July August

Рисунок 3. Рост числа умерших и потребность в аппаратах ИВЛ в Москве в соответствии со сценариями Б, В и Г (обратите внимания на различие в вертикальном масштабе по сравнению с рисунком 2!). Черные линии — количество умерших, красные — количество критических больных. Сплошные тонкие линии соответствуют сценарию превентивного локдауна (Г), пунктирные тонкие — сценарию позднего локдауна (В), пунктирные — сценарию сохранения мягких ограничительных мер (Б).

Figure 3. An increase in the number of deaths and the requirements for ventilators in Moscow according to Scenarios B, C, and D (note the difference the difference in the vertical scale as compared to Figure 2!). Black lines — number of lethal cases, red lines — number of critical patients. Full lines correspond to Scenario D (preventive lockdown), thin dashed lines — Scenario C (late lockdown), bold dashed lines — Scenario B of maintaining of moderate mitigation measures.

шить количество больных, нуждающихся в ИВЛ на пике эпидемии, до цифры, которую хотя бы теоретически можно попытаться мак­симальным напряжением сил удовлетворить (тем более, что пик эпидемии ожидается только через три месяца). Однако такой сце­нарий предполагает сохранение ограничений, по меньшей мере, на год (или до получения лекарства или вакцины от COVID-19) и даже после этого при снятии ограничений не исключена новая волна заболеваемости.

Варианты с локдауном выглядят в целом предпочтительнее, так как позволяют снизить число жертв на порядки и понизить на­грузку на систему здравоохранения до приемлемого уровня. У них, однако, имеется огромная проблема: риск второй волны эпидемии после снятия локдауна очень велик. Теоретически пред­ставляется возможным, что после подавления эпидемии удастся контролировать возникновение новых вспышек путем оператив­ного выявления и изоляции заболевших (см. корейский, тайвань­ский, сингапурский и т.д. опыт), но совершенно не исключено, что инфекция может вновь выйти из под контроля, так что для ее по­давления понадобится новый локдаун.

Наконец, наиболее, пожалуй, очевидным результатом анализа является то, что превентивный локдаун явно предпочтительнее отложенного: он предполагает меньшую нагрузку на систему здравоохранения, более чем в 10 раз меньшее число умерших, и к тому же будет существенно короче. В связи с этим представ­ляется разумным не откладывать неизбежное решение о прину­дительном локдауне и переходить к этому сценарию в ближай­шие 2-3 недели, не дожидаясь сотен смертей и переполненных больниц.

ОБСУЖДЕНИЕ / DISCUSSION

В заключение стоит сделать несколько важных замечаний. Ско­рее всего, многим читателям может показаться, что автор их специально пугает: вывод о возможности 110-120 тысяч смертей от коронавируса в Москве звучит одновременно и жутко, и не­правдоподобно. Тем не менее хотелось бы обратить внимание, что

при отладке модели и выборе параметров мы последовательно делали максимально оптимистичный выбор. Действительно:

— мы предположили, что COVID-19 обладает сезонностью, так что его заразность в разгар эпидемии в мае-июне будет на 15-25% ниже, чем измеренная по мартовским данным; это предположе­ние правдоподобно, но ничем не подтверждено.

— мы предположили, что от 50 до 95% заболеваний проходит лег­ко и бессимптомно, а следовательно, что средняя реальная тяжесть заболевания существенно меньше, чем можно было бы подумать, глядя на свежие итальянские и испанские данные; летальность COVID-19 в пяти рассмотренных сценариях колеблется от 0,7 до 1%, что находится у нижнего края правдоподобных оценок;

— мы никак не учитывали дополнительный рост смертности, вы­званный тем, что многие больные не смогут получить доступ к ап­паратам ИВЛ, не говоря о более широких последствиях коллапса системы здравоохранения во время эпидемии; понятно, что речь пойдет, как минимум, еще о десятках тысяч дополнительных смертей;

— мы ограничили моделирование только населением Москвы; в реальности Москва и Московская область представляют собой единый мегаполис с населением почти 20 миллионов человек; по­нятно, что в области будет происходить в целом то же самое и примерно в те же сроки;

— в сценариях Б и В мы предполагали, что уже введенные и вво­димые с 28 марта меры будут давать эффект; пока нет данных о том, что это действительно так: на рисунке 1 видно, что рост эпи­демии в Москве пока и не думает замедляться.

Таким образом, автор считает, что представленный выше нуле­вой сценарий является сдержанно-оптимистической оценкой того, что может происходить в Москве в отсутствие мер подавления эпидемии. Откуда же берутся заниженные ожидания потенциаль­ного числа умерших? По-видимому, большое число наблюдателей ожидает, что эпидемия может охватить какую-то небольшую часть населения (скажем, несколько процентов или несколько де­сятых процента), а потом по каким-то причинам самопроизвольно затухнуть. Такие ожидания основаны на жизненном опыте, приоб­ретенном при наблюдении за болезнями, к которым у значитель­ной части населения есть полный или частичный иммунитет, таки­ми, как, например, грипп или ветряная оспа. Принципиально важно понять, что в случае COVID-19 мы имеем дело с новым за­болеванием, к которому нет иммунитета ни у кого. В таком случае ожидать, что болезнь самопроизвольно остановится, охватив все­го 1% или 10% населения, можно примерно с таким же основани­ем, как ожидать, что падающий вам на голову кирпич самопроиз­вольно остановится в воздухе, не долетев до вас метр или полтора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ / CONCLUSION

У эпидемии, распространяющейся в популяции без иммунитета, может быть только две возможных судьбы: или она подавляется, или она распространяется и охватывает существенную долю насе­ления (при значениях R0, характерных для COVID-19, заведомо больше половины). При этом, чем эпидемия становится больше, тем больше сил и ресурсов нужно, чтобы ее подавить. Пока число заболевших исчисляется десятками или сотнями, можно добиться подавления относительно дешевым способом — путем изоляции за­болевших, выявления и карантинирования их контактов. Для ны­нешней вспышки COVID-19 в Москве эта возможность уже упущена. При больших масштабах эпидемии единственным доступным сред­ством являются крупномасштабные карантинные меры, направлен­ные на все население. Чем раньше они вводятся и чем жестче со­блюдаются, тем более быстрым оказывается подавление эпидемии и тем меньшими будет издержки для общества и экономики. Таким образом, представляется, что принятое московскими властями 30 марта 2020 г. решение об ограничениях передвижения в Москве

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; Том 13, №1

www.pharmacoeconomics.ru

49

Original articles

Farmakoekonomika

является разумным и своевременным. С точки зрения многих юри­стов, правовой статус предпринятых в Москве мер является спор­ным, но содержательное обсуждение этого вопроса, безусловно, выходит за рамки настоящей публикации.

Отметим, что, хотя конкретные количественные результаты при­водимого исследования специфичны для Москвы, качественное поведение и основные выводы имеют универсальный характер и могут быть распространены на другие регионы Российской Фе­дерации. В связи с этим представляется крайне желательным бы­строе и повсеместное введение мер, аналогичных московским.

Целью предпринимаемых в настоящее время во многих странах мер сдерживания является подавление конкретной нынешней вспышки эпидемии COVID-19. Важно понимать, что в случае, если это подавление окажется успешным, к моменту окончания локда- уна в популяции не возникнет группового иммунитета от нового коронавируса и популяция будет длительное время (вплоть до разработки и внедрения вакцины) оставаться уязвимой к но-

Финансирование

Исследование: фонд поддержки теоретической физики БАЗИС (грант 17-12-278)

Написание и публикация статья выполнены без финансовой поддержки

Происхождение статьи и рецензирование

Журнал не заказывал статью; внешнее рецензирование (в ускоренном порядке вследствие важности проблемы)

ЛИТЕРАТУРА:

1. В Москве ввели жесткие карантинные меры. Похоже, это правильно: математическая модель показывает, что иначе могли бы погибнуть больше 100 тысяч человек. 30.03.2020. [Электронный ресурс] URL: https://meduza.io/feature/2020/03/30/ v-moskve-vveli-zhestkie-karantinnye-mery-pohozhe-eto-pravilno- matematicheskaya-model-pokazyvaet-chto-inache-mogli-by-po- gibnut-bolshe-100-tysyach-chelovek. Дата обращения: 30.03.2020.

2. Kermack W.O., McKendrick A.G. A contribution to the mathe­matical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society of Lon­don. Series A. Containing papers of a mathematical and physical char­acter. 1927; 115 (772): 700-721.

3. Daley D.J., Gani J. Epidemic Modelling: An Introduction, Cam­bridge University Press, Cambridge, UK, 1999.

4. Diekmann O., Heesterbeek J.A.P. Mathematical epidemiology of infectious diseases: model building, analysis and interpretation, John Wiley& Sons, Chichester, UK, 2000.

5. Murray J.D., Mathematical Biology: I. An Introduction, Spring- er-Verlag, New York, NY, 2002.

6. Keeling M.J., Rohani P. Modelling Infectious Diseases in Hu­mans and Animals, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2008.

7. Bj0rnstad O. SEIR model. 2005. [Электронный ресурс] UF^I^: htt|p^:// ms.mcmaster.ca/~bolker/eeid/sir.pdf. Дата обращения: 27.03.2020.

8. Rocklow J., Sjodin H., Wilder-Smith A. COVID-19 outbreak on the Diamond Princess cruise ship: estimating the epidemic potential and effectiveness of public health countermeasures. J. Travel Medi­cine. 2020; DOI: 10.1093/jtm/taaa030.

9. Peng L., Yang W., Zhang D., Zhuge C., Hong L. Epidemic analy­sis of COVID-19 in China by dynamical modeling. arXiv preprint. 2020; arXiv:2002.06563.

10. COVID-19 reports of the MRC Centre for Global Infectious Disease Analysis, Imperial College London. [Электронный ресурс] URL: https:// www.imperial.ac.uk/mrc-global-infectious-disease-analysis/covid-19/. Дата обращения: 27.03.2020.

11. Maslov S., Goldenfeld N. Window of Opportunity for Mitigation to Prevent Overflow of ICU capacity in Chicago by COVID-19. arXiv preprint. 2020; arXiv:2003.09564.

вым вспышкам эпидемии. Предотвращение таких новых вспышек потребует постоянной бдительности санитарно-эпидемиологиче­ских служб, а также широкодоступного, дешевого, быстрого и на­дежного тестирования на РНК нового коронавируса и антитела к нему. Принципиально важно за время локдауна подготовить и развернуть такую систему тестирования. В противном случае предпринимаемые в настоящее время меры сдерживания эпиде­мии лишь сдвинут ее на более поздний срок.

Благодарности / Acknowledgements

Использованная для расчетов модель построена Рихардом Нейе- ром (Университет Базеля, Швейцария) с сотрудниками и доступна по адресу: neherlab.org/covid19. Автор благодарен Сергею Маслову (университет Иллинойса в Урбана-Шампейн, США) за продуктивное обсуждение, Алексею Ракше и Кристине Сафоновой — за помощь в поиске данных. Автор благодарен фонду поддержки теоретиче­ской физики БАЗИС (грант 17-12-278) за финансовую поддержку.

Funding

The research was funded by BASIS Foundation for Theoretical Physics (grant 17-12-278)

The article was written and published without funding

Provenance and peer review

Not commissioned; externally peer reviewed (fast track due to significance of the issue)

12. COVID-19 Scenarios. [Электронный ресурс] URL: https://ne- herlab.org/covid19/. Дата обращения: 27.03.2020.

13. Lauer S.A., Grantz K.H., Bi Q., Jones F.K., Zheng Q. et al. The Incubation Period of Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) From Publicly Reported Confirmed Cases: Estimation and Application. An­nals of Internal Medicine, 2020; DOI: 10.1101/2020.02.02.20020016.

14. Chan J. F.-W., Yuan S., Kok K.-H., To K. K.-W., Chu H. et al. A familial cluster of pneumonia associated with the 2019 novel coronavirus indicating person-to-person transmission: a study of a family cluster. The Lancet. 2020; 395: 514.

15. Wu J.T., Leung K., Leung G.M. Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV out­break originating in Wuhan, China: a modelling study. The Lancet. 2020; 395: 689.

16. Kucharski A.J., Russell T.W., Diamond C., Liu Y., Edmunds J. et al. Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study. The Lancet. Infectious Diseases. 2020; DOI: 10.1016/S1473-3099(20)30144-4.

17. Liu T., Hu J., Xiao J., He G., Kang M. et al. Time-varying transmission dynamics of Novel Coronavirus Pneumonia in China. bioRxiv.org preprint. DOI: 10.1101/2020.01.25.919787.

18. Wu Z., McGoogan J.M. Characteristics of and Important Lessons From the Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) Outbreak in China. J. Amer. Med. 2020; DOI: 10.1001/jama.2020.2648.

19. Neher R.A., Dyrdack R., Druelle V., Hodcroft E.B., Albert J. Potential impact of seasonal forcing on a SARS-CoV-2 pandemic. Swiss Med. Weekly. 2020; 150: w20224. DOI. 10.4414/ smw.2020.20224.

20. Liu Y., Gayle A.A., Wilder-Smith A., Rocklow J. The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus. J. Travel Med. 2020; DOI: 10.1093/jtm/taaa021.

21. Flaxman S., Mishra S., Gangy A., Unwin H.J.T., Coupland et al. Estimating the number of infections and the impact of nonpharma­ceutical interventions on COVID-19 in 11 European countries. 13th report of the Imperial College COVID-19 Response Team. 2020; DOI: 10.25561/77731.

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

50

www.pharmacoeconomics.ru

FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomics and Pharmacoepidemiology. 2020; Vol. 13 (1)

Оригинальные статьи

Фщииодди

22. Численность постоянного населения — мужчин по возрасту на 1 января. [Электронный ресурс] URL: https://www.fedstat.ru/ indicator/31548. Дата обращения: 27.03.2020.

23. Численность постоянного населения — женщин по возрасту на 1 января. [Электронный ресурс] URL: https://www.fedstat.ru/ indicator/33459. Дата обращения: 27.03.2020.

REFERENCES:

1. Tough quarantine measures have been introduced in Moscow. This seems to be correct: the mathematical model shows that otherwise more than 100 thousand people could have died. 30.03.2020. [Electronic resource] URL: https://meduza.io/ feature/2020/03/30/v-moskve-vveli-zhestkie-karantinnye-mery- pohozhe-eto-pravilno-matematicheskaya-model-pokazyvaet-chto- inache-mogli-by-pogibnut-bolshe-100-tysyach-chelovek. Accessed: 30.03.2020.

2. Kermack W.O., McKendrick A.G. A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing papers of a mathematical and physical character. 1927; 115 (772): 700-721.

3. Daley D.J., Gani J. Epidemic Modelling: An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1999.

4. Diekmann O., Heesterbeek J.A.P. Mathematical epidemiology of infectious diseases: model building, analysis and interpretation, John Wiley& Sons, Chichester, UK, 2000.

5. Murray J.D., Mathematical Biology: I. An Introduction, Springer­Verlag, New York, NY, 2002.

6. Keeling M.J., Rohani P. Modelling Infectious Diseases in Humans and Animals, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2008.

7. Bj0rnstad O. SEIR model. 2005; [Electronic resource] URL: https://ms.mcmaster.ca/~bolker/eeid/sir.pdf. Accessed: 27.03.2020.

8. Rocklow J., Sjodin H., Wilder-Smith A. COVID-19 outbreak on the Diamond Princess cruise ship: estimating the epidemic potential and effectiveness of public health countermeasures. J. Travel Medicine. 2020; DOI: 10.1093/jtm/taaa030.

9. Peng L., Yang W., Zhang D., Zhuge C., Hong L. Epidemic analysis of COVID-19 in China by dynamical modeling. arXiv preprint. 2020; arXiv:2002.06563.

10. COVID-19 reports of the MRC Centre for Global Infectious Disease Analysis, Imperial College London. [Electronic resource] URL: https://www.imperial.ac.uk/mrc-global-infectious-disease-analysis/ covid-19/. Accessed: 27.03.2020.

11. Maslov S., Goldenfeld N. Window of Opportunity for Mitigation to Prevent Overflow of ICU capacity in Chicago by COVID-19. arXiv preprint. 2020; arXiv:2003.09564.

12. COVID-19 Scenarios. [Electronic resource] URL: https:// neherlab.org/covid19/. Accessed: 27.03.2020.

13. Lauer S.A., Grantz K.H., Bi Q., Jones F.K., Zheng Q. et al., The Incubation Period of Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) From Publicly Reported Confirmed Cases: Estimation and Application. Annals of Internal Medicine, 2020; DOI: 10.1101/2020.02.02.20020016.

24. Wang C., Liu L., Hao X., Guo H., Wang Q. et al. Evolving Epidemiology and Impact of Non-pharmaceutical Interventions on the Outbreak of Coronavirus Disease 2019 in Wuhan, China. medRxiv.org preprint. DOI: 10.1101/2020.03.03.20030593.

14. Chan J. F.-W., Yuan S., Kok K.-H., To K. K.-W., Chu H. et al. A familial cluster of pneumonia associated with the 2019 novel coronavirus indicating person-to-person transmission: a study of a family cluster. The Lancet. 2020; 395: 514.

15. Wu J.T., Leung K., Leung G.M. Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study. The Lancet. 2020; 395: 689.

16. Kucharski A.J., Russell T.W., Diamond C., Liu Y., Edmunds J. et al. Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study. The Lancet. Infectious Diseases. 2020; DOI: 10.1016/S1473-3099(20)30144-4.

17. Liu T., Hu J., Xiao J., He G., Kang M. et al. Time-varying transmission dynamics of Novel Coronavirus Pneumonia in China. bioRxiv.org preprint. DOI: 10.1101/2020.01.25.919787.

18. Wu Z., McGoogan J.M. Characteristics of and Important Lessons From the Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) Outbreak in China. J. Amer. Med. 2020; DOI: 10.1001/jama.2020.2648.

19. Neher R.A., Dyrdack R., Druelle V., Hodcroft E.B., Albert J. Potential impact of seasonal forcing on a SARS-CoV-2 pandemic. Swiss Med. Weekly. 2020; 150: w20224. DOI: 10.4414/ smw.2020.20224.

20. Liu Y., Gayle A.A., Wilder-Smith A., Rocklow J. The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus. J. Travel Med. 2020; DOI: 10.1093/jtm/taaa021.

21. Flaxman S., Mishra S., Gangy A., Unwin H.J.T., Coupland et al. Estimating the number of infections and the impact of nonpharmaceutical interventions on COVID-19 in 11 European countries. 13th report of the Imperial College COVID-19 Response Team. 30 March 2020; DOI: 10.25561/77731.

22. Number of resident population — men by age on January 1 [Electronic resource] URL: https://www.fedstat.ru/indicator/31548. Accessed: 27.03.2020.

23. The number of resident population — women by age on January 1. [Electronic resource] URL: https://www.fedstat.ru/indicator/33459. Accessed: 27.03.2020.

24. Wang C., Liu L., Hao X., Guo H., Wang Q. et al. Evolving Epidemiology and Impact of Non-pharmaceutical Interventions on the Outbreak of Coronavirus Disease 2019 in Wuhan, China. medRxiv.org preprint. DOI: 10.1101/2020.03.03.20030593.

Сведения об авторе:

Тамм Михаил Владимирович — к. ф.-м. н., доцент, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова; Департамент прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ. Researcher ID: G-6959-2016; Scopus Author ID: 7006098030; ORCID ID: https://orcid.org/0000-0003-3168-1307. E-mail: thumm.m@gmail.com.

About the author:

Mikhail V. Tamm — PhD (Physico-Mathematical Sciences), Associate Professor, Moscow State University; Department of Applied Mathematics (MIEM NRU HSE). Researcher ID: G-6959-2016; Scopus Author ID: 7006098030; ORCID ID: https://orcid.org/0000-0003-3168-1307. E-mail: thumm.m@gmail.com.

Данная интернет-версия статьи была скачана с сайта http://www.pharmacoeconomics.ru. Не предназначено для использования в коммерческих целях. Информацию о репринтах можно получить в редакции. Тел.: +7 (495) 649-54-95; эл. почта: info@irbis-1.ru.

ФАРМАКОЭКОНОМИКА. Современная Фармакоэкономика и Фармакоэпидемиология. 2020; Том 13, №1

www.pharmacoeconomics.ru

51

antfiksa

Recent Posts

БЕЛАЯ ДИЕТА, ИЛИ ЧТО НУЖНО ЕСТЬ ПОСЛЕ ОТБЕЛИВАНИЯ ЗУБОВ?

БЕЛАЯ ДИЕТА, ИЛИ ЧТО НУЖНО ЕСТЬ ПОСЛЕ ОТБЕЛИВАНИЯ ЗУБОВ? Благодаря возможностям современной эстетической стоматологии мечта…

2 месяца ago

ЧТО ТАКОЕ ФТОРИРОВАНИЕ ЗУБОВ?

ЧТО ТАКОЕ ФТОРИРОВАНИЕ ЗУБОВ? 2020-12-01 Кариес и повышенная чувствительность зубов - самые частые стоматологические проблемы,…

2 месяца ago

ПЕРИОСТИТ ЗУБА — ПРИЧИНЫ, СИМПТОМЫ, ЛЕЧЕНИЕ!

ПЕРИОСТИТ ЗУБА - ПРИЧИНЫ, СИМПТОМЫ, ЛЕЧЕНИЕ! Когда воспалительный процесс пульпы, вызванный кариесом, распространяется по направлению…

2 месяца ago

КАК КУРЕНИЕ СИГАРЕТ ВЛИЯЕТ НА ЗУБЫ?

КАК КУРЕНИЕ СИГАРЕТ ВЛИЯЕТ НА ЗУБЫ? Помимо отрицательного воздействия на дыхательные пути, особенно на легкие…

2 месяца ago

ЧТО ТАКОЕ ЯЗВЫ ВО РТУ? СИМПТОМЫ, ПРИЧИНЫ И ЛЕЧЕНИЕ.

ЧТО ТАКОЕ ЯЗВЫ ВО РТУ? СИМПТОМЫ, ПРИЧИНЫ И ЛЕЧЕНИЕ. Незначительные ранки во рту - это неприятный…

2 месяца ago

ПОЧЕМУ БЫ ВАМ НЕ ОТБЕЛИТЬ ЗУБЫ ПИЩЕВОЙ СОДОЙ? ФАКТЫ И МИФЫ О ДОМАШНЕМ ОТБЕЛИВАНИИ ЗУБОВ!

ПОЧЕМУ БЫ ВАМ НЕ ОТБЕЛИТЬ ЗУБЫ ПИЩЕВОЙ СОДОЙ? ФАКТЫ И МИФЫ О ДОМАШНЕМ ОТБЕЛИВАНИИ ЗУБОВ! Сон…

2 месяца ago