Categories: FAQ

Линейная алгебра: векторный расчет: плоскости

Содержание

Векторное представление слоев Править

Редактировать уровень с вектором поддержки и векторами направления

Применяются для опорных векторов (в трех измерениях) Через два линейно независимых векторов направленных U и V в формуле, то вектор Х к произвольной точке Р, из Ц и Об плоскости, когда натянутом

То есть это уравнение является векторным уравнением плоскости. Поскольку r, s иногда также называют Параметрами, упомянутое уравнение также называют Параметрическим уравнением Плоскости.
Если точка P лежит в такой плоскости, человек испытывает, если он использует это уравнение плоскости по компонентам x 1 =. х 2 = х 3 =. записывает и в сгенерированной таким образом системе уравнений использует координаты П. Из двух уравнений можно определить r и s, которые также вписываются в третье уравнение, если P лежит в плоскости.
Чтобы проверить, существуют ли четыре точки на плоскости — являются ли они Копланарными — можно проверить, являются ли AB, AC, AD линейно зависимыми.

Трехточечное уравнение уровня редактирования

Действительно ли F, G и H три точки, которые не Коллинеарны (т. е. они не лежат на одной линии), так что вы можете FG, FH используется в качестве направления векторов и приводит к F Vector OF в качестве опорного вектора. Тогда есть (см. Фиг.8)

Пусть F (1 | 2 | 3), G (4 | 6 | 6) и H (7 | 8 | 8) три неколлинеарных точки. (Доказательство: например, через F и G прямая линия ведет к тому месту, где третья точка не лежит). Тогда плоскость, которая проходит через эти три точки, имеет уравнение

X = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Если кто-либо выбирает какие-либо числовые значения для параметров r и s, он получает все точки плоскости.

Нормальная форма уравнения плоскости

Если N — вектор, перпендикулярный плоскости, то этот вектор перпендикулярен всем векторам плоскости. Если Е такой вектор с плоскости, то

Другой способ описать слой. Это нормальная форма плоского уравнения.

Учитывая самолет

X = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Поскольку вектор нормали должен быть перпендикулярен U и V , применяется

Поскольку эта система уравнений не определена для значений n i, i = 1, 2, 3, которые можно определить, можно использовать только z. B.

Получать. Так что примерно n 2 = 1, n 3 = -2 (или кратно, длина N произвольна.) Так что это будет

3 n 1 + 4 — 6 = 0, то есть n 1 = 2/3,

Нормальный вектор. Таким образом, нормальной формой является данный уровень

Определение нормального вектора редактирования

Поскольку U × v является вектором, перпендикулярным векторам направления, таким образом, можно получить нормальный вектор через перекрестное произведение. Как мы уже нашли в 1.4.2, это

То есть с к = 1

Для последнего упомянутого числового примера это происходит из-за систематики, указанной в 1.4.3 и с U = (3; 4; 3) и V = (6; 6; 5)

N 1 = 4,5 — 6,3 = 20 — 18 = 2 n 2 = 6,3 — 5,3 = 18 — 15 = 3 n 3 = 3,6 — 4,6 = 18 — 24 = -6

То есть N = (2; 3; -6), что является тем же вектором, что и выше.
Ясно, что два уровня в трехмерном параллельны, если их нормальные векторы совпадают до одного фактора.

HESSE нормальная форма слоя Править

Как и с прямыми линиями

HESSE нормальная форма плоского уравнения. Здесь также N o — нормальный вектор, приведенный к длине 1.
И даже теперь можно получить расстояние d точки P от плоскости, если заменить вектор X вектором положения P точки P в нормальном виде HESSE этой плоскости.
Что-то еще: знак d допускает следующее утверждение: если N A = — c> 0, то означает

D> 0, что точка P и начало координат O лежат в разных полупространствах d = 0: точка лежит в плоскости d

Редактирование слоев и линий

Пирсинг точки прямой и уровня редактирования

Прямая линия X = A + r B и плоскость X = C + s U + t V могут встречаться в «точке прокалывания» D, которую можно получить из A + r B = C + s U + t VПолучает. Это обеспечивает 3 уравнения для параметров r, s, t. Прямая линия не должна быть в плоскости или параллельна ей. Может ли прямая линия лежать в плоскости, можно проверить: проверяется, лежат ли две произвольные точки прямой в плоскости. С другой стороны, прямая линия параллельна плоскости, если вектор направления линии является линейной комбинацией векторов направления плоскости.

Пересекающаяся линия двух непараллельных слоев Править

Даны два уровня в форме

Эти две плоскости не параллельны друг другу, если вектор нормали первого уровня не кратен вектору нормали второго уровня.
Непараллельность также может быть разной (sb. b.): две плоскости не параллельны, если U 1 , V 1 , U 2 линейно независимы. Если это не так, то U 1 , V 1 и V 2 должны быть линейно независимыми.
(На рисунке U 2 является линейной комбинацией U 1 , V 1 , т. е. эти три вектора линейно зависимы.Однако v 2 не может бытьлинейно объединенос u 1 , v 1 , то есть эти три вектора линейно независимы. На рисунке 10 две плоскости пересекаются по прямой линии, содержащей вектор u 2 .

Наконец, чтобы получить линию пересечения двух (непараллельных) плоскостей, установите:

B + r u 2 + s v 2 . Это дает три уравнения для расчета параметров p, q, r, s. В этой «недоопределенной» системе уравнений можно привести один из четырех параметров в правую часть и решить систему уравнений для оставшихся трех параметров. Решение тогда все еще содержит переданный параметр. Ясно: желаемая линия пересечения действительно должна иметь параметр!. Следует перенести этот параметр в правую часть, чтобы остальные параметры принадлежали векторам, которые линейно независимы. Потому что тогда существует единственное решение системы уравнений для остальных параметров.

Два уровня даны

Являются ли U 1 = (1; 2; 4), V 1 = (5; -5; 2) и U 2 = (2; -1; 3) линейно независимыми? Чтобы ответить на этот вопрос, мы используем подход:

К (1; 2; 4) + т (5; -5; 2) + T (2; 1; 3) = 0, то есть, она составляет 1 к + 5 м + 2 т = 0 2 к — 5 м — т = 0 4k + 2 т + 3 т = 0th

Рассчитано, что эта система уравнений имеет только решение k = 0, m = 0, t = 0, то есть векторы линейно независимы, две плоскости не параллельны.
Уравнение двух плоских уравнений

1 + 1 р + д = 5 + 1 2 + R 1 S 2 + P 3 — 5 Q = 3 — 1 г — S 3 2 + 4 р + 2q = 3 + 3 + R 2 сек

1 p + 5 q — 2 r — 1 s = 0 2 p — 5 q + 1 r + 3 s = 0 4 p + 2 q — 3 r — 2 s = 0.

Так как мы уже пересчитаны, что (1; 2; 4), (5, -5, 2), (-2, 1, -3) линейно независимых векторов, мы создаем параметр с на правых сторонах и, следовательно, решать

1 p + 5 q — 2 r = 1 с 2 p — 5 q + 1 r = — 3 с 4 p + 2 q — 3 r = 2 с.

Эта система имеет решения:

Q = — s, r = — 4 с, p = — 2 с.

Если мы затем вставим r = — 4 с во второе уравнение плоскости, то мы будем

Х (1 -3; 2) (3 -1 2) + S, так — = (1; 3 3) 4 с х = (1; 3; 3) — с (-7; 1; — 10)

Уравнение искомой линии разреза.
Еще одна заметка: один уровень>

Угол между слоями Править

Поскольку угол между двумя плоскостями является углом между их нормальными векторами, можно использовать формулу

Угол между прямой и плоскостью редактирования

Сначала вычислите угол между вектором направления линии и вектором нормали плоскости. Прибавление к 90 ° дает желаемый угол.

Представления без параметров Править

Беспараметрическое представление прямых линий в слое редактирования

Из векторного уравнения: X = A + k U следует параметрическое представление прямой

Если мы поместим это k в первом уравнении, мы получим

Это представление линии без параметра (отображение без параметров или координатное представление линии).

Из Х следующим образом: — 4 х = (0 ,; 5) + K (3 -4) 1 — 3 х 2 = — 15, или 4 х 1 + 3 х 2 = 15.
Если попытаться в трех измерениях, как только выводить параметры из к чтобы удалить параметрическое представление прямого получают в соответствии с уравнением манипулирования всех разных уравнений, параметр свободным, но представляют собой отдельные линии. Мы считаем: В R3 не существует единого параметра-свободное представление для линии. Мы видим, что два-параметрические уравнения, представляющие пересекающиеся плоскости, могут служить из — за отсутствие замены представления.

Нормальное векторное редактирование

Из векторно-нормальной формы уравнения линии

Сравнивая с

Таким образом, из беспараметрического представления прямой нормальный вектор может быть считан немедленно.

Линия 4 x 1 + 3 x 2 = 15 имеет (4; 3) как нормальный вектор. Как уже отмечалось, не существует беспараметрического представления линии в пространстве, но существует такой уровень. а именно, из X = A + p U + q V следует

Из двух из этих трех уравнений можно вычислить p и q, а затем результаты использовать в оставшемся третьем уравнении. Это дает плоское уравнение в виде

В этом случае, возможно, не все коэффициенты A, B и C одновременно равны нулю. Поскольку при А = В = С = 0 и D равно нулю там в (*) не имеет решения, и если все четыре значения равны нулю, каждый из тройных припадки х 1 , х 2 , х 3 в уравнении плоскости.
«Точка выборки» — то есть, счет, если точка в плоскости, или нет, (начало х 1 , х 2 , х 3 — значения точки в уравнении плоскости) является способом, в параметрическом представлении (*) очень быстро.

Х = (2; 1; -1) (1; -1; -1) + р + д (-3, 1, 4) приводит к (непараметрический) координатное представление плоскости:

Тогда (как и выше) N = (3; 1; 2) является нормальной формой для плоскости.

Различные представления параметров одного и того же слоя Править

Из координат представления (плоскости) приводит к вектору представления (с двумя параметрами векторов направления) , когда два из координат х 1 , х 2 , х 3 записывает параметры р и д, например, х 1 = р, х 3 = д и одна треть, например, х 2 в последнем примере, х 2 = — 3 р — д 2 + 5 записывает. Это дает вам

Поскольку мы выбрали x 1 = p, x 3 = q, пробелы могут быть заполнены. Мы получаем так

Но это не представление параметров плоскости, с которой мы начали. Однако он все еще представляет один и тот же уровень, поскольку оба (разных) представления параметров приводят к одному и тому же координатному представлению уровня. Имеет смысл говорить не о представлении параметров, а о представлении параметров уровня.

Системы уравнений редактировать

Предыдущие утверждения показывают, что речь всегда идет о решении систем уравнений. Это приводит к соображениям относительно того, как методы решения могут быть систематизированы. В связи с этим делается ссылка на главу «Линейные системы уравнений».

Применяются для опорных векторов (в трех измерениях) Через два линейно независимых векторов направленных U и V в формуле, то вектор Х к произвольной точке Р, из Ц и Об плоскости, когда натянутом En. m.wikibooks. org Подробнее…

15.01.2017 4:22:45

Исходный текст

Предложить лучший вариант перевода

antfiksa

Share
Published by
antfiksa

Recent Posts

бетонная стяжка пола цена за м2 стоимость работ в москве

Бетонная стяжка пола цена за м2 стоимость работ в москве

1 месяц ago

бетонная стяжка на деревянный пол в частном доме

Бетонная стяжка на деревянный пол в частном доме

1 месяц ago

клей для паркета на бетонную стяжку своими руками

Клей для паркета на бетонную стяжку своими руками

1 месяц ago

выравнивание пола под ламинат без бетонной стяжки

Выравнивание пола под ламинат без бетонной стяжки

1 месяц ago

как выровнять бетонный пол без стяжки при помощи осб или дсп

Как выровнять бетонный пол без стяжки при помощи осб или дсп

1 месяц ago

расчет бетонной стяжки пола калькулятор онлайн

Расчет бетонной стяжки пола калькулятор онлайн

1 месяц ago