Categories: FAQ

Линейная алгебра: векторный расчет: плоскости

Содержание

Векторное представление слоев Править

Редактировать уровень с вектором поддержки и векторами направления

Применяются для опорных векторов (в трех измерениях) Через два линейно независимых векторов направленных U и V в формуле, то вектор Х к произвольной точке Р, из Ц и Об плоскости, когда натянутом

То есть это уравнение является векторным уравнением плоскости. Поскольку r, s иногда также называют Параметрами, упомянутое уравнение также называют Параметрическим уравнением Плоскости.
Если точка P лежит в такой плоскости, человек испытывает, если он использует это уравнение плоскости по компонентам x 1 =. х 2 = х 3 =. записывает и в сгенерированной таким образом системе уравнений использует координаты П. Из двух уравнений можно определить r и s, которые также вписываются в третье уравнение, если P лежит в плоскости.
Чтобы проверить, существуют ли четыре точки на плоскости — являются ли они Копланарными — можно проверить, являются ли AB, AC, AD линейно зависимыми.

Трехточечное уравнение уровня редактирования

Действительно ли F, G и H три точки, которые не Коллинеарны (т. е. они не лежат на одной линии), так что вы можете FG, FH используется в качестве направления векторов и приводит к F Vector OF в качестве опорного вектора. Тогда есть (см. Фиг.8)

Пусть F (1 | 2 | 3), G (4 | 6 | 6) и H (7 | 8 | 8) три неколлинеарных точки. (Доказательство: например, через F и G прямая линия ведет к тому месту, где третья точка не лежит). Тогда плоскость, которая проходит через эти три точки, имеет уравнение

X = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Если кто-либо выбирает какие-либо числовые значения для параметров r и s, он получает все точки плоскости.

Нормальная форма уравнения плоскости

Если N — вектор, перпендикулярный плоскости, то этот вектор перпендикулярен всем векторам плоскости. Если Е такой вектор с плоскости, то

Другой способ описать слой. Это нормальная форма плоского уравнения.

Учитывая самолет

X = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Поскольку вектор нормали должен быть перпендикулярен U и V , применяется

Поскольку эта система уравнений не определена для значений n i, i = 1, 2, 3, которые можно определить, можно использовать только z. B.

Получать. Так что примерно n 2 = 1, n 3 = -2 (или кратно, длина N произвольна.) Так что это будет

3 n 1 + 4 — 6 = 0, то есть n 1 = 2/3,

Нормальный вектор. Таким образом, нормальной формой является данный уровень

Определение нормального вектора редактирования

Поскольку U × v является вектором, перпендикулярным векторам направления, таким образом, можно получить нормальный вектор через перекрестное произведение. Как мы уже нашли в 1.4.2, это

То есть с к = 1

Для последнего упомянутого числового примера это происходит из-за систематики, указанной в 1.4.3 и с U = (3; 4; 3) и V = (6; 6; 5)

N 1 = 4,5 — 6,3 = 20 — 18 = 2 n 2 = 6,3 — 5,3 = 18 — 15 = 3 n 3 = 3,6 — 4,6 = 18 — 24 = -6

То есть N = (2; 3; -6), что является тем же вектором, что и выше.
Ясно, что два уровня в трехмерном параллельны, если их нормальные векторы совпадают до одного фактора.

HESSE нормальная форма слоя Править

Как и с прямыми линиями

HESSE нормальная форма плоского уравнения. Здесь также N o — нормальный вектор, приведенный к длине 1.
И даже теперь можно получить расстояние d точки P от плоскости, если заменить вектор X вектором положения P точки P в нормальном виде HESSE этой плоскости.
Что-то еще: знак d допускает следующее утверждение: если N A = — c> 0, то означает

D> 0, что точка P и начало координат O лежат в разных полупространствах d = 0: точка лежит в плоскости d

Редактирование слоев и линий

Пирсинг точки прямой и уровня редактирования

Прямая линия X = A + r B и плоскость X = C + s U + t V могут встречаться в «точке прокалывания» D, которую можно получить из A + r B = C + s U + t VПолучает. Это обеспечивает 3 уравнения для параметров r, s, t. Прямая линия не должна быть в плоскости или параллельна ей. Может ли прямая линия лежать в плоскости, можно проверить: проверяется, лежат ли две произвольные точки прямой в плоскости. С другой стороны, прямая линия параллельна плоскости, если вектор направления линии является линейной комбинацией векторов направления плоскости.

Пересекающаяся линия двух непараллельных слоев Править

Даны два уровня в форме

Эти две плоскости не параллельны друг другу, если вектор нормали первого уровня не кратен вектору нормали второго уровня.
Непараллельность также может быть разной (sb. b.): две плоскости не параллельны, если U 1 , V 1 , U 2 линейно независимы. Если это не так, то U 1 , V 1 и V 2 должны быть линейно независимыми.
(На рисунке U 2 является линейной комбинацией U 1 , V 1 , т. е. эти три вектора линейно зависимы.Однако v 2 не может бытьлинейно объединенос u 1 , v 1 , то есть эти три вектора линейно независимы. На рисунке 10 две плоскости пересекаются по прямой линии, содержащей вектор u 2 .

Наконец, чтобы получить линию пересечения двух (непараллельных) плоскостей, установите:

B + r u 2 + s v 2 . Это дает три уравнения для расчета параметров p, q, r, s. В этой «недоопределенной» системе уравнений можно привести один из четырех параметров в правую часть и решить систему уравнений для оставшихся трех параметров. Решение тогда все еще содержит переданный параметр. Ясно: желаемая линия пересечения действительно должна иметь параметр!. Следует перенести этот параметр в правую часть, чтобы остальные параметры принадлежали векторам, которые линейно независимы. Потому что тогда существует единственное решение системы уравнений для остальных параметров.

Два уровня даны

Являются ли U 1 = (1; 2; 4), V 1 = (5; -5; 2) и U 2 = (2; -1; 3) линейно независимыми? Чтобы ответить на этот вопрос, мы используем подход:

К (1; 2; 4) + т (5; -5; 2) + T (2; 1; 3) = 0, то есть, она составляет 1 к + 5 м + 2 т = 0 2 к — 5 м — т = 0 4k + 2 т + 3 т = 0th

Рассчитано, что эта система уравнений имеет только решение k = 0, m = 0, t = 0, то есть векторы линейно независимы, две плоскости не параллельны.
Уравнение двух плоских уравнений

1 + 1 р + д = 5 + 1 2 + R 1 S 2 + P 3 — 5 Q = 3 — 1 г — S 3 2 + 4 р + 2q = 3 + 3 + R 2 сек

1 p + 5 q — 2 r — 1 s = 0 2 p — 5 q + 1 r + 3 s = 0 4 p + 2 q — 3 r — 2 s = 0.

Так как мы уже пересчитаны, что (1; 2; 4), (5, -5, 2), (-2, 1, -3) линейно независимых векторов, мы создаем параметр с на правых сторонах и, следовательно, решать

1 p + 5 q — 2 r = 1 с 2 p — 5 q + 1 r = — 3 с 4 p + 2 q — 3 r = 2 с.

Эта система имеет решения:

Q = — s, r = — 4 с, p = — 2 с.

Если мы затем вставим r = — 4 с во второе уравнение плоскости, то мы будем

Х (1 -3; 2) (3 -1 2) + S, так — = (1; 3 3) 4 с х = (1; 3; 3) — с (-7; 1; — 10)

Уравнение искомой линии разреза.
Еще одна заметка: один уровень>

Угол между слоями Править

Поскольку угол между двумя плоскостями является углом между их нормальными векторами, можно использовать формулу

Угол между прямой и плоскостью редактирования

Сначала вычислите угол между вектором направления линии и вектором нормали плоскости. Прибавление к 90 ° дает желаемый угол.

Представления без параметров Править

Беспараметрическое представление прямых линий в слое редактирования

Из векторного уравнения: X = A + k U следует параметрическое представление прямой

Если мы поместим это k в первом уравнении, мы получим

Это представление линии без параметра (отображение без параметров или координатное представление линии).

Из Х следующим образом: — 4 х = (0 ,; 5) + K (3 -4) 1 — 3 х 2 = — 15, или 4 х 1 + 3 х 2 = 15.
Если попытаться в трех измерениях, как только выводить параметры из к чтобы удалить параметрическое представление прямого получают в соответствии с уравнением манипулирования всех разных уравнений, параметр свободным, но представляют собой отдельные линии. Мы считаем: В R3 не существует единого параметра-свободное представление для линии. Мы видим, что два-параметрические уравнения, представляющие пересекающиеся плоскости, могут служить из — за отсутствие замены представления.

Нормальное векторное редактирование

Из векторно-нормальной формы уравнения линии

Сравнивая с

Таким образом, из беспараметрического представления прямой нормальный вектор может быть считан немедленно.

Линия 4 x 1 + 3 x 2 = 15 имеет (4; 3) как нормальный вектор. Как уже отмечалось, не существует беспараметрического представления линии в пространстве, но существует такой уровень. а именно, из X = A + p U + q V следует

Из двух из этих трех уравнений можно вычислить p и q, а затем результаты использовать в оставшемся третьем уравнении. Это дает плоское уравнение в виде

В этом случае, возможно, не все коэффициенты A, B и C одновременно равны нулю. Поскольку при А = В = С = 0 и D равно нулю там в (*) не имеет решения, и если все четыре значения равны нулю, каждый из тройных припадки х 1 , х 2 , х 3 в уравнении плоскости.
«Точка выборки» — то есть, счет, если точка в плоскости, или нет, (начало х 1 , х 2 , х 3 — значения точки в уравнении плоскости) является способом, в параметрическом представлении (*) очень быстро.

Х = (2; 1; -1) (1; -1; -1) + р + д (-3, 1, 4) приводит к (непараметрический) координатное представление плоскости:

Тогда (как и выше) N = (3; 1; 2) является нормальной формой для плоскости.

Различные представления параметров одного и того же слоя Править

Из координат представления (плоскости) приводит к вектору представления (с двумя параметрами векторов направления) , когда два из координат х 1 , х 2 , х 3 записывает параметры р и д, например, х 1 = р, х 3 = д и одна треть, например, х 2 в последнем примере, х 2 = — 3 р — д 2 + 5 записывает. Это дает вам

Поскольку мы выбрали x 1 = p, x 3 = q, пробелы могут быть заполнены. Мы получаем так

Но это не представление параметров плоскости, с которой мы начали. Однако он все еще представляет один и тот же уровень, поскольку оба (разных) представления параметров приводят к одному и тому же координатному представлению уровня. Имеет смысл говорить не о представлении параметров, а о представлении параметров уровня.

Системы уравнений редактировать

Предыдущие утверждения показывают, что речь всегда идет о решении систем уравнений. Это приводит к соображениям относительно того, как методы решения могут быть систематизированы. В связи с этим делается ссылка на главу «Линейные системы уравнений».

Применяются для опорных векторов (в трех измерениях) Через два линейно независимых векторов направленных U и V в формуле, то вектор Х к произвольной точке Р, из Ц и Об плоскости, когда натянутом En. m.wikibooks. org Подробнее…

15.01.2017 4:22:45

Исходный текст

Предложить лучший вариант перевода

antfiksa

Share
Published by
antfiksa

Recent Posts

БЕЛАЯ ДИЕТА, ИЛИ ЧТО НУЖНО ЕСТЬ ПОСЛЕ ОТБЕЛИВАНИЯ ЗУБОВ?

БЕЛАЯ ДИЕТА, ИЛИ ЧТО НУЖНО ЕСТЬ ПОСЛЕ ОТБЕЛИВАНИЯ ЗУБОВ? Благодаря возможностям современной эстетической стоматологии мечта…

5 дней ago

ЧТО ТАКОЕ ФТОРИРОВАНИЕ ЗУБОВ?

ЧТО ТАКОЕ ФТОРИРОВАНИЕ ЗУБОВ? 2020-12-01 Кариес и повышенная чувствительность зубов - самые частые стоматологические проблемы,…

5 дней ago

ПЕРИОСТИТ ЗУБА — ПРИЧИНЫ, СИМПТОМЫ, ЛЕЧЕНИЕ!

ПЕРИОСТИТ ЗУБА - ПРИЧИНЫ, СИМПТОМЫ, ЛЕЧЕНИЕ! Когда воспалительный процесс пульпы, вызванный кариесом, распространяется по направлению…

5 дней ago

КАК КУРЕНИЕ СИГАРЕТ ВЛИЯЕТ НА ЗУБЫ?

КАК КУРЕНИЕ СИГАРЕТ ВЛИЯЕТ НА ЗУБЫ? Помимо отрицательного воздействия на дыхательные пути, особенно на легкие…

5 дней ago

ЧТО ТАКОЕ ЯЗВЫ ВО РТУ? СИМПТОМЫ, ПРИЧИНЫ И ЛЕЧЕНИЕ.

ЧТО ТАКОЕ ЯЗВЫ ВО РТУ? СИМПТОМЫ, ПРИЧИНЫ И ЛЕЧЕНИЕ. Незначительные ранки во рту - это неприятный…

5 дней ago

ПОЧЕМУ БЫ ВАМ НЕ ОТБЕЛИТЬ ЗУБЫ ПИЩЕВОЙ СОДОЙ? ФАКТЫ И МИФЫ О ДОМАШНЕМ ОТБЕЛИВАНИИ ЗУБОВ!

ПОЧЕМУ БЫ ВАМ НЕ ОТБЕЛИТЬ ЗУБЫ ПИЩЕВОЙ СОДОЙ? ФАКТЫ И МИФЫ О ДОМАШНЕМ ОТБЕЛИВАНИИ ЗУБОВ! Сон…

5 дней ago